Do π liên hệ chặt chẽ với đường tròn, nó xuất hiện trong nhiều công thức thuộc các lĩnh vực hình học và lượng giác, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, hình cầu, hoặc elip. Một số ngành khoa học khác cũng có các công thức liên quan tới π, như thống kê, phân dạng, cơ học, vũ trụ học, lý thuyết số, và điện từ học.

Hình học và lượng giác

π được định nghĩa là tỉ lệ giữa chu vi và đường kính của một đường tròn.

π xuất hiện trong những công thức về chu vi, diện tích và thể tích các hình hình học liên quan tới đường tròn, như các hình elip, hình cầu, hình nón, hình xuyến. Một vài công thức phổ biến hơn cả trong số đó là[103]:

• Chu vi của một đường tròn với bán kính r là 2 π r {\displaystyle 2\pi r}
• Diện tích của một hình tròn với bán kính r là π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}}
• Thể tích của một hình cầu với bán kính r là 4 3 π r 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}
• Diện tích mặt cầu với bán kính r là 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}}

π xuất hiện trong các tích phân xác định mô tả chu vi, diện tích, hoặc thể tích các hình tạo ra từ đường tròn. Chẳng hạn, một tích phân xác định nửa diện tích của một đường tròn với bán kính bằng 1 được cho bởi[104]:

∫ − 1 1 1 − x 2 d x = π 2 {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}

Trong công thức này, hàm 1 − x 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}} biểu diễn nửa trên của đường tròn (căn thức là hệ quả của định lý Pythagoras), và tích phân ∫ − 1 1 {\displaystyle \scriptstyle \int _{-1}^{1}} tính diện tích giữa nửa đường tròn và trục x.

Các hàm sin và cosin lặp lại với chu kì 2π.

Trong lượng giác, các hàm lượng giác liên hệ với các góc, và các nhà toán học thường sử dụng radian như một đơn vị đo. Mặt khác, π đóng một vai trò quan trọng trong các góc đo bằng radian, do radian được định nghĩa sao cho một đường tròn chiếm một góc bằng 2π radian[105], hoặc nói cách khác, góc 180° bằng với π radian, và 1° = π/180 radian[105].

Các hàm lượng giác phổ biến thường có chu kì là bội của π; chẳng hạn, sin và cosin có chu kỳ 2π[106], do đó với bất kì góc θ và bất kì số nguyên k nào, sin ⁡ θ = sin ⁡ ( θ + 2 π k ) {\displaystyle \scriptstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)} và cos ⁡ θ = cos ⁡ ( θ + 2 π k ) . {\displaystyle \scriptstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).} [106]

Phương pháp Monte Carlo

Họ phương pháp Monte Carlo, vốn dùng để tính toán kết quả của những phép thử ngẫu nhiên nhiều lần, có thể dùng để tạo nên các phép xấp xỉ số π[107]. Kim Buffon là một kĩ thuật như vậy: nếu một cây kim có chiều dài ℓ được thả n lần lên một bề mặt trên đó vẽ các đường thẳng song song cách nhau t đơn vị, và nếu x lần trong số đó nó dừng lại cắt qua một vạch (x > 0), thì người ta có thể tính gần đúng π dựa trên phép tính[108]:

π ≈ 2 n ℓ x t {\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}}

Một phương pháp Monte Carlo khác để tính π là vẽ một đường tròn nội tiếp một hình vuông, và đặt ngẫu nhiên các chấm lên hình vuông. Tỉ lệ các chấm nằm trong hình tròn trên tổng số chấm xấp xỉ bằng π / 4. {\displaystyle \scriptstyle \pi /4.} [109]

Phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng π rất chậm so với những phương pháp khác. Năm 1901 nhà toán học Italia Mario Lazzarini đã tung một cây kim 3048 lần để thu được kết quả ước lượng π bằng 355/113[110], một thí nghiệm nhằm minh họa cho phương pháp hơn là nỗ lực lập kỉ lục về số π. Mô phỏng trên máy tính hiện đại cho phép thực hiện "gieo" ngẫu nhiên nhanh hơn nhiều cách tung kim bằng tay như vậy, nhưng nhìn chung nó không bao giờ được dùng để tính π khi đòi hỏi độ chính xác và tốc độ[111].

Số phức và giải tích

Mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của số e với các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng phức được cho bởi Công thức Euler.

Bất kỳ số phức z nào đều có thể biểu diễn bằng một cặp số thực. Trong hệ tọa độ cực, một số (bán kính r) được dùng để biểu diễn khoảng cách từ z tới gốc tọa độ của mặt phẳng phức và một số khác (góc φ) để biểu diễn một phép quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia dương của trục thực tới z[112]:

z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}

Ở đây i2 = −1. Sự xuất hiện thường xuyên của π trong giải tích phức liên quan tới biểu diễn hàm mũ của một biến phức, được mô tả bằng công thức Euler[113]:

e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }

Ở đây hằng số e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Công thức này lập lên một mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của e và các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc của mặt phẳng phức. Đặt φ = π trong công thức Euler sinh ra Đồng nhất thức Euler, một công thức được các nhà toán học ca ngợi do chứa đựng năm hằng số toán học quan trọng nhất[113][114]:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Có n số phức z khác nhau thỏa mãn z n = 1 {\displaystyle z^{n}=1} , và chúng được gọi là "nghiệm bậc n của đơn vị"[115]. Chúng được cho bởi công thức:

e 2 π i k / n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 ) {\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)}

Công thức tích phân Cauchy chi phối các hàm giải tích phức và thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa các phép tích phân và vi phân, bao gồm một điều đáng chú ý là giá trị của một hàm phức trong một miền đóng hoàn toán được xác định bởi những giá trị trong miền[116][117]:

f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ γ ⁡ f ( z ) z − z 0 d z {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz} π có thể tính được từ tập Mandelbrot, bằng cách tính số vòng lặp cần thiết trước khi điểm (−0.75, ε) phân kỳ.

Sự hiện diện của π trong fractal (phân dạng) tập Mandelbrot được một người Mỹ tên là David Boll khám phá vào năm 1991[118]. Ông đã kiểm tra biểu hiện của tập Mandelbrot ở gần vùng "cổ" ở (-0.75, 0). Xem xét những điểm có tọa độ (-0.75, ε), khi ε tiến tới 0, số lần tự lặp lại hình dạng của tập cho đến khi phân kì đối với điểm đó nhân với ε hội tụ về π. Điểm (0.25, ε) ở đỉnh của một "thung lũng" lớn ở phía phải của tập Mandelbrot cũng biểu hiện tương tự: số lần tự lặp lại trước khi phân kì nhân với căn bậc hai của ε tiến tới π[118][119].

Hàm gamma mở rộng khái niệm về giai thừa - vốn thông thường chỉ được định nghĩa cho các số nguyên - sang mọi số thực. Nếu hàm gamma được tính ở các số bán nguyên, thì kết quả sẽ chứa π, chẳng hạn Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}} và Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}} [120]. Hàm gamma có thể được sử dụng để tạo ra một phép tính gần đúng n ! {\displaystyle \scriptstyle n!} cho số n {\displaystyle \scriptstyle n} lớn: n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle \scriptstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} còn được gọi là xấp xỉ Stirling[121].

Lý thuyết số và hàm zeta Riemann

Hàm zeta Riemann ζ(s) được dùng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Khi tính cho s = 2 {\displaystyle \scriptstyle s=2} , nó có thể viết lại thành

ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }

Tìm một nghiệm đơn cho chuỗi vô hạn này là một bài toán nổi tiếng trong toán học gọi là bài toán Basel. Leonhard Euler giải nó vào năm 1735 khi ông chỉ ra nó bằng π 2 6 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} [67]. Kết quả của Euler dẫn đến một kết luận quan trọng trong lý thuyết số là xác suất để hai số ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau (nghĩa là không có ước chung nào ngoài 1) bằng 6 / π 2 {\displaystyle \scriptstyle 6/\pi ^{2}} .[122][123]. Xác suất này dựa trên một nhận xét rằng bất kì số nào chia hết cho một số nguyên tố p {\displaystyle \scriptstyle p} là 1 / p {\displaystyle \scriptstyle 1/p} (chẳng hạn, cứ bảy số nguyên liên tiếp thì có một số chia hết cho 7). Do đó xác suất để hai số cùng chia hết bởi số nguyên tố này là 1 / p 2 {\displaystyle \scriptstyle 1/p^{2}} , và xác suất để ít nhất một trong hai số không chia hết là 1 − 1 / p 2 {\displaystyle \scriptstyle 1-1/p^{2}} . Đối với các số nguyên khác nhau, các sự kiện có thể chia hết là độc lập với nhau; do đó xác suất để hai số nguyên tố cùng nhau cho bởi một tích lấy trên tất cả các số nguyên tố[124]:

∏ p ∞ ( 1 − 1 p 2 ) = ( ∏ p ∞ 1 1 − p − 2 ) − 1 = 1 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = 1 ζ ( 2 ) = 6 π 2 ≈ 61 % {\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%}

Xác suất này có thể dùng cùng với một phương pháp sinh số ngẫu nhiên để tính gần đúng π sử dụng cách tiếp cận Monte Carlo[125].

Vật lý

Mặc dù không phải là một hằng số vật lý, π xuất hiện thường xuyên trong các phương trình mô tả các nguyên lý cơ bản của vũ trụ, thường do mối liên hệ giữa π với đường tròn và với hệ tọa độ cầu. Một công thức đơn giản trong lĩnh vực cơ học cổ điển cho ta chu kỳ dao động gần đúng T của một con lắc đơn với chiều dài L, dao động với biên độ nhỏ (g là gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất)[126]:

T ≈ 2 π L g {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}

Một trong những công thức tối quan trọng của cơ học lượng tử là nguyên lý bất định Heisenberg chỉ ra rằng độ bất định trong phép đo vị trí của một hạt (Δx) và động lượng (Δp) không thể đồng thời nhỏ tùy ý ở cùng một thời điểm (ở đây h là hằng số Planck)[127]:

Δ x Δ p ≥ h 4 π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}

Trong ngành vũ trụ học, π xuất hiện trong một công thức nền tảng, đó là phương trình trường Einstein tạo nên cơ sở của thuyết tương đối tổng quát và mô tả tương tác cơ bản của lực hấp dẫn như một kết quả của không-thời gian bị uốn cong bởi vật chất và năng lượng[128]:

R i k − g i k R 2 + Λ g i k = 8 π G c 4 T i k {\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}} Trong đó R i k {\displaystyle R_{ik}\,} là tenxơ độ cong Ricci, R {\displaystyle R\,} là độ cong vô hướng, g i k {\displaystyle g_{ik}\,} là tenxơ metric, Λ {\displaystyle \Lambda \,} là hằng số vũ trụ học, G {\displaystyle G\,} là hằng số hấp dẫn, c {\displaystyle c\,} là vận tốc ánh sáng trong chân không, và T i k {\displaystyle T_{ik}\,} là tenxơ ứng suất-năng lượng.

Trong lĩnh vực điện từ học, định luật Coulomb mô tả điện trường giữa hai điện tích (q1 và q2) cách nhau một khoảng r (với ε0 biểu diễn cho hằng số điện môi trong chân không)[129]:

F = | q 1 q 2 | 4 π ε 0 r 2 {\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}

Việc π xấp xỉ bằng 3 góp phần vào thời gian sống tương đối lâu của ortho-positronium (hệ lượng tử có một electron và một positron nằm trên cùng một quỹ đạo quay xung quanh một khối tâm). Nghịch đảo thời gian sống 1 τ {\displaystyle {\frac {1}{\tau }}} đối với bậc thấp nhất trong hằng số cấu trúc tế vi α {\displaystyle \alpha } được cho bởi công thức[130]:

1 τ = 2 π 2 − 9 9 π m α 6 {\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6}} trong đó m là khối lượng electron.

Xác suất thống kê

Một đồ thị Hàm Gauss
ƒ(x) = e−x2. Vùng tô màu giữa hàm số và trục x có diện tích π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}} .

Các lĩnh vực xác suất và thống kê sử dụng thường xuyên phân bố chuẩn như một mô hình đơn giản cho các hiện tượng phức tạp; chẳng hạn các nhà khoa học thông thường giả định rằng các sai số quan sát trong hầu hết các thí nghiệm tuân theo một phân bố chuẩn[131]. π được tìm thấy trong hàm Gauss (là hàm mật độ xác suất của phân bố chuẩn với giá trị trung bình μ và độ lệch chuẩn σ[132]:

f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}

Diện tích dưới đồ thị của đường cong phân bố chuẩn được cho bởi tích phân Gauss[132]:

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} ,

trong khi tích phân tương tự đối với phân bố Cauchy là

∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi } .

Kỹ thuật và địa chất

π hiện diện trong một số công thức trong kĩ thuật cấu trúc, như công thức tính độ cong vênh do Euler tìm ra, cho ta biết tải trọng theo trục tối đa F mà một cột dài, mảnh có độ dài L, suất đàn hồi E, và momen quán tính diện tích I có thể mang được mà không bị cong vênh[133]:

F = π 2 E I L 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}

Lĩnh vực thủy động lực học cũng chứa π trong định luật Stokes, cho phép tính gần đúng lực ma sát F tác dụng lên một vật thể nhỏ dạng cầu bán kính R chuyển động với vận tốc v trong một chất lỏng với độ nhớt động η[134]:

F = 6 π η R v {\displaystyle F=6\,\pi \,\eta \,R\,v}

Biến đổi Fourier là một phép toán biểu diễn thời gian như một hàm của tần số, được biết như phổ tần số của nó. Nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, đặc biệt trong xử lý tín hiệu[135]:

f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x )   e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}

Dưới các điều kiện lý tưởng (dốc thoải đều trên một nền xói mòn một cách đồng đều), độ uốn khúc của một con sông tiến gần tới π. Độ uốn khúc (sinousity) là tỉ số giữa độ dài thực và khoảng cách theo đường kẻ giữa thượng nguồn và cửa sông. Các dòng chảy nhanh hơn dọc các cạnh bên ngoài của chỗ uốn dòng sông gây ra nhiều xói lở hơn dọc các cạnh trong, do đó đẩy các chỗ uốn ra xa hơn, và gia tăng sự uốn vòng lặp lại tổng thể của dòng sông. Tuy nhiên, sự uốn vòng quá mức dẫn tới ở một số chỗ, dòng cuộn thành một đường vòng quanh, tạo ra những hồ có hình chữ U (box-ow lake), làm giảm độ uốn khúc tổng thể. Sự cân bằng giữa hai nhân tố đối lập này khiến cho dẫn tới độ uốn khúc của dòng sông trung bình gần bằng π[136][137].